Tragfähigkeit mit Querkraftbewehrung
Aufnehmbare Querkraft mit Querkraftbewehrung: Wenn VEd > VRd,ct ist, wird die erforderliche Querkraftbewehrung ermittelt.
VRd,sy = Asw * fyd * z * cot Θ
mit Druckstrebenwinkel
0,58 ≤ cot Θ ≤ (1,2 - 1,4 * σcd/fcd) / (1 - VRd,c/VEd) ≤ 3,0
und Beton-Traganteil
VRd,c = βct * 0,10 * η1 * fck1/3 * (1 + 1,4 * σcd/fcd) * bw * z (siehe DIN 1045-1, Formeln (73) bis (75) )
Ohne die Einwirkung von Normalkräften vereinfachen sich die Formeln:
mit Druckstrebenwinkel
0,58 ≤ cot Θ ≤ 1,2 / (1 - VRd,c/VEd) ≤ 3,0
und Beton-Traganteil
VRd,c = βct * 0,10 * η1 * fck1/3 * bw * z
Asw steht hier für die gebräuchliche Angabe der Querkraftbewehrung, nämlich je Bauteillängen-Einheit, also in cm²/m. Das entspricht der Bezeichnung (Asw/sw) in den Formeln der DIN 1045-1.
Zunächst wird der Mindestwinkel Θ (der kleinstmögliche Winkel) der Betondruckstreben berechnet. Er liegt für Normalbeton zwischen 18,5 und 40 Grad ( cot Θ zwischen 3,0 und 1,2), bei gleichzeitigen Längszugkräften zwischen 18,5 und 60 Grad ( cot Θ zwischen 3,0 und 0,58). Außerdem wird geprüft, ob dieser Winkel erhöht werden muss, weil die Druckstrebenfestigkeit maßgebend wird (siehe nächster Schritt: Maximal aufnehmbare Querkraft). Praktisch kann dadurch der Winkel auf bis zu 45 Grad erhöht werden.
Wenn der Anwender einen Druckstrebenwinkel vorgegeben hat, um z.B. mit den vereinfachten Werten nach DIN 1045-1 Abschnitt 10.3.4.(5) zu rechnen, so wird mit diesem Wert bemessen, allerdings wird dieser Winkel nach Formel (73) überprüft und korrigiert, falls er nicht zulässig ist.
Mit diesem Winkel wird die erforderliche Bewehrung Asw berechnet, sodass VEd = VRd,sy ist. Ein kleinerer Winkel Θ erfordert eine geringere Bewehrungsmenge. (Dieses Verfahren ersetzt die "verminderte Schubdeckung" aus DIN 1045(88) ).
Mit diesem Winkel wird die erforderliche Bewehrung Asw berechnet, sodass VEd = VRd,sy ist. Ein kleinerer Winkel Θ erfordert eine geringere Bewehrungsmenge. (Dieses Verfahren ersetzt die "verminderte Schubdeckung" aus DIN 1045(88) ).
Wenn der Anwender eine geneigte Querkraftbewehrung wünscht, also einen Winkel α < 90 Grad vorgibt, wird die erforderliche Querkraftbewehrung analog berechnet mit der Formel (77) der DIN 1045-1:
VRd,sy = Asw * fyd * z * (cot Θ + cot α) * sin α
Die erforderliche Bewehrung (je Länge in Richtung der Bauteilachse) verringert sich durch eine Neigung α < 90 Grad.
Fachwerkmodell Querkraftbemessung DIN 1045-1, Bild 33
Beispiel:
Auszug aus einem Textausdruck (Programm Xpla): Unterzug = Balkenelement
Material nach DIN 1045-1 (01)
================================================================================
Name: M1 C20/25 / BSt500S(A)
Elastizitätsmodul E 28800.000 [N/mm2]
Querdehnzahl mue 0.167 [-]
spez. Gewicht gamma 25.000 [kN/m3]
Temperaturausdehnungskoeffizient AlphaT 1.000e-005 [1/°]
Balkenelemente (Lage, Trägheitsmomente)
================================================================================
Name X1 Y1 X2 Y2 Ixx Iyy Material
[m] [m] [m] [m] [cm4] [cm4] [-]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 0.00 6.00 0.00 M1
Balkenelemente (Abmessung, Bemessung)
================================================================================
Name B D1 D2 h'o h'u bl br Cs Art dH
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 30.0 80.0 80.0 5.0 5.0 0.0 0.0 5.0 Unterzug
Balkenelemente (Schubbemessung)
================================================================================
Name Feldbew. Theta Alpha Hebelarm z Fugenb. Art
[°] [°] [-] [m]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 gest. autom. 90.0 aus Biegeb.
Lastfallkombinationen
Name Kombination
================================================================================
1 L1*1.35
ERGEBNISSE
==========
Lokale Balkenschnittgrößen
================================================================================
Name x Kn. Lf/k Q Mx My
[kN] [kNm] [kNm]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 L1 283.32 0.00 0.03
MiMy K1 382.48 0.00 0.05
MaMy 382.48 0.00 0.05
0.60 L1 239.86 0.00 170.02
MiMy K1 323.81 0.00 229.53
MaMy 323.81 0.00 229.53
1.20 L1 153.00 0.00 287.86
MiMy K1 206.55 0.00 388.61
MaMy 206.55 0.00 388.61
1.80 L1 66.19 0.00 353.62
MiMy K1 89.35 0.00 477.38
MaMy 89.35 0.00 477.38
2.40 L1 -20.63 0.00 367.29
MiMy K1 -27.85 0.00 495.83
MaMy -27.85 0.00 495.83
3.00 L1 -107.45 0.00 328.86
MiMy K1 -145.06 0.00 443.96
MaMy -145.06 0.00 443.96
3.60 L1 -194.27 0.00 238.35
MiMy K1 -262.26 0.00 321.77
MaMy -262.26 0.00 321.77
4.20 L1 -281.08 0.00 95.74
MiMy K1 -379.46 0.00 129.25
MaMy -379.46 0.00 129.25
4.80 L1 -367.91 0.00 -98.95
MiMy K1 -496.68 0.00 -133.59
MaMy -496.68 0.00 -133.59
5.40 L1 -454.92 0.00 -345.74
MiMy K1 -614.15 0.00 -466.75
MaMy -614.15 0.00 -466.75
6.00 L1 -498.51 0.00 -644.84
MiMy K1 -672.99 0.00 -870.53
MaMy -672.99 0.00 -870.53
Biegebemessung der Balkenelemente
================================================================================
Name x Typ Biegung
Aso Asu
[cm2]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 K1 0.00 0.00
0.05 K1 0.00 0.57
0.60 K1 0.00 7.28
0.80 K1 0.00 9.21
1.20 K1 0.00 13.33
1.80 K1 0.00 17.10
2.40 K1 0.00 17.93
3.00 K1 0.00 15.64
3.60 K1 0.00 10.69
4.20 K1 0.00 3.92
4.80 K1 4.06 0.00
5.20 K1 12.01 0.00
5.40 K1 16.63 0.00
5.95 K1 33.46 4.17
6.00 K1 34.56 5.28
Schubbemessung der Balkenelemente
================================================================================
Name x Typ Querkraft
VEd ctTheta VRd,sy VRd,max Asw
[m] [kN] [-] [kN] [kN][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 K1 382.48 1.95 284.72 777.56 4.49
0.05 K1 377.59 1.95 284.72 768.81 4.53
0.60 K1 323.81 2.08 284.72 697.76 4.50
0.80 K1 284.72 2.27 284.72 646.49 4.19
1.20 K1 206.55 3.00 206.55 505.80 2.40
1.80 K1 89.35 3.00 176.22 487.06 2.12
2.40 K1 27.85 3.00 174.73 482.94 2.12
3.00 K1 145.06 3.00 178.85 494.31 2.12
3.60 K1 262.26 2.43 262.26 609.33 3.66
4.20 K1 379.46 1.91 379.46 756.54 6.33
4.80 K1 496.68 1.68 496.68 809.39 9.45
5.20 K1 574.99 1.55 574.99 777.23 12.71
5.40 K1 614.15 1.51 574.99 751.62 13.72
5.95 K1 668.09 1.43 574.99 668.09 16.61
6.00 K1 672.99 1.40 574.99 672.99 16.98
Hinweis:
Die maßgebende Bemessungsstelle für VRd,sy liegt im Abstand von d (= 0,75 m) neben dem Auflagerrand. In XPLA wird sie vereinfachend im Abstand h (= 0,80 m) neben der Auflagerachse angenommen, da in XPLA derzeit keine Auflagerlängen impliziert sind. Daher wird hier zwischen 0,00 m und 0,80 m konstant für VEd bei 0,80 m bemessen. Die Bewehrungsmenge ändert sich dennoch wegen eines veränderlichen Hebelarms aus der Biegebemessung und eines veränderlichen Winkels Θ. Ebenso wird zwischen 5,20 m und 6,00 m konstant für VEd bei 5,20 bemessen.
Nachrechnung bei x = 4,80 :
| Eingangsgröße | Wert |
| fck | 20 MN/m² (C20/25) |
| fcd | 0,85 * 20 / 1,5 = 11,33 MN/m² (C20/25) |
| fyd | 500 / 1,15 = 435 MN/m² (BSt500) |
| βct | 2,4 (Rauigkeitsbeiwert) |
| η1 | 1,0 (Normalbeton) |
| αc | 0,75 (Normalbeton) |
| b/h/d | 300 / 800 / 750mm (Balken) |
| M | 133,59 kNm |
| As | 4,06 cm² (aus der Biegebemessung) |
| z = M/As*ftd | 133,59/(4,06*5252/1,15)*10=0,721 m = 721 cm |
| VEd | 496,68 kN |
| Asw | 9,45 cm² |
VRd,c = 2,4 * 0,10 * 1,0 * 201/3 * 300 * 721 / 1000 = 140,91 kN
cot Θ = 1,2 / (1 - 140,91/496,68) = 1,675
tan Θ = tan (acot 1,675) = 0,597
VRd,sy = 9,45 * 435 * 721 * 1,675 / 10000 = 496 kN
VRd,max = (300 * 721 * 0,75 * 11,33) / (1,675 + 0,597) / 1000 = 809 kN
Verwandte Informationen:
- Grundlagen der Querkraftbemessung
- Tragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung
- Tragfähigkeit mit Querkraftbewehrung
- Maximale Querkraft-Tragfähigkeit
- Mindestbewehrung
- Schubkraftübertragung in Fugen
- Sonderfall der zweiachsig gespannten Platte
- Bemessungsergebnisse
- Bemessungsdetails, Stäbe
- Bemessungsdetails, Flächen
- Das Bemessungskonzept