Hybride Arbeitsprinzipien

In der Baupraxis werden einfache, aber sehr leistungsfähige finite Elemente gefordert. Sie sollen für jeden Elementtyp lediglich die für die Elementform erforderliche Anzahl von Eckknoten besitzen. In diesen sollen als Freiheitsgrade nur Verschiebungen und/oder Verdrehungen auftreten.

Neben den Forderungen hinsichtlich der exakten Darstellungen starrer Bewegungsmöglichkeiten und konstanter Dehnungszustände müssen statische Verträglichkeit im Elementinneren (Erfüllung des Gleichgewichts) und kinematische Verträglichkeit an den Elementrändern (keine Risse und keine Überlappungen zwischen angrenzenden Elementen) gesichert sein.

Es ist nicht möglich, ein finites Elemente auf Grund der Kraft- oder Verschiebungsmethode zu entwerfen, das die genannten Forderungen erfüllt. Einen Ausweg aus dieser misslichen Situation liefert die sogenannte hybride Methode.

In ihr werden Kraft- und Verschiebungsmethode zu einem kombinierten, hybriden Arbeitsprinzip verschmolzen. Nach diesem Arbeitsprinzip werden unsere finiten Elemente als hybride Spannungselemente entwickelt. Sie sind sehr leistungsfähig und erfüllen selbstverständlich obige Forderungen. Die theoretischen Grundlagen werden im Folgenden zusammengestellt.

Die hybriden Arbeitsprinzipien (11) und (12) enthalten neben den Schnittkräften im Element nur die Verrückungen am Elementrand. Die Randverrückungen bzw. sowie die inneren Schnittkräfte n bei Scheiben bzw. m und q bei Platten müssen über Ansatzfunktionen dem entsprechenden Problem angepasst werden. Sowohl die inneren Schnittkräfte als auch die Verrückungen auf den Randkanten müssen festen Voraussetzungen genügen. Ein Ansatz für die inneren Schnittkräfte muss die Gleichgewichtsbedingungen (4) bzw. (6) erfüllen, und ein Verrückungsansatz entlang der Randkanten muss die Stetigkeitsbedingungen zwischen angrenzenden Elementen gewährleisten.

gewählt. Die Vektoren bzw. und sind partikuläre Lösungen der inhomogenen Gleichgewichtsbedingungen in (4) bzw. (6) und beachten die aufgebrachten Flächenlasten bzw. und . Die Felder und enthalten vollständige Polynome in den x-, y-Koordinaten mit den Freiwerten (Koeffizienten) bzw. Die Terme bzw. müssen die homogenen Gleichgewichtsbedingungen in (4) bzw. (6) erfüllen. Das in (13) genannte Feld wird aus dem Feld M nach (5b) abgeleitet. Aus den inneren Schnittkräften lassen sich unter Beachtung der Orientierungen der Randkanten (Bild 5 bzw. 6) die Randschnittkräfte bzw. berechnen. Diese können auf die Form

gebracht werden. Die auf den Randkanten vorliegenden, unterschiedlichen Verformungszustände werden durch Polynome ersten, zweiten und dritten Grades in der Randkoordinate s beschrieben. Die auftretenden Freiwerte werden mit Hilfe von Transformations- und Inzidenzmatrizen mit den globalen Knotenverrückungen in (1) bzw. (2) gekoppelt. Die Verläufe der lokalen Randverrückungen lassen sich in der Kurzform darstellen:

Die auf diese Weise gewonnen Ansatzfunktionen werden in die Felder bzw. in (13) eingeordnet. Die zugehörigen Freiwerte werden in den Vektoren (mit 12 Komponenten) bzw. (mit 17 Komponenten) zusammengefasst.

(Anmerkung: Bei Scheiben- und Plattenelementen mit drei Eckknoten reicht ein linearer Polynomansatz aus. Bei Plattenelementen mit vier Eckknoten genügt ein bilinearer Ansatz.)

Die Ansatzfunktionen für die Verrückungen w und ψ müssen zulässig sein, d.h. die müssen die Bedingungen (*) und (**) befriedigen.

Nach Bild 6 werden die auf einer Randkante i-j gewählten Verrückungen erklärt. Die Koordinate s wird auf die Kantenlänge bezogen und durch ersetzt. Der Verlauf der Verdrehung φ wird ausgedrückt in dem linearen Ansatz:

Folgende Ansätze für die Verläufe der Verdrehung ψ und der Durchbiegung w werden gewählt bei der Plattentheorie nach Kirchhoff

und bei der Plattentheorie nach Mindlin-Reissner

Es lässt sich leicht nachvollziehen, dass die Forderungen in (*) und (**) berücksichtigt sind.

Die am jeweiligen Rand benutzten Knotenverrückungen sind lokal zu verstehen und müssen gedreht und in den globalen Verrückungsvektor einsortiert werden. Dieses Vorgehen führt schließlich zum Feld das die besagten lokalen Verläufe der Randverrückungen mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (2) verbindet:

Nach diesem hier aufgezeigten FEM-Konzept wurden unsere leistungsfähigen hybriden Spannungselemente für die Baupraxis entwickelt.